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    橢圓參數方程

    來源:懂視網 責編:小OO 時間:2020-10-08 22:39:24
    導讀操作方法參數方程由來:圓的參數方程[特殊情形,圓心(0,0),半徑R]{x=Rcosαy=Rsinα(α為參數,0≤α<2π)其參數α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉角,如下圖所示;圓的參數方程[一般情形,圓心(m,n),半徑R]{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數,0≤α<2π)注意:很多容易和極坐標的坐標(ρ,θ)中的θ混淆,如圖所示,參數α=∠ACP;范圍α∈[0,2π]橢圓的參數方程{x=acos?y=bsin?(?為參數,0≤?<2π)其參數?的幾何意...

    操作方法

    參數方程由來:
    圓的參數方程[特殊情形,圓心(0,0),半徑R]
    {x=Rcosαy=Rsinα(α為參數,0≤α<2π)
    其參數α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉角,如下圖所示;

    圓的參數方程[一般情形,圓心(m,n),半徑R]
    {x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為參數,0≤α<2π)
    注意:很多容易和極坐標的坐標(ρ,θ)中的θ混淆,如圖所示,參數α=∠ACP;范圍α∈[0,2π]

    橢圓的參數方程
    {x=acos?y=bsin?(?為參數,0≤?<2π)
    其參數?的幾何意義是對應的大圓或小圓半徑的旋轉角∠AOM,也就是橢圓的離心角.不是橢圓上動點和中心連線的旋轉角∠AOP;切記!雖然∠AOM和∠AOP二者不相等,但是很顯然這二者也是一一對應的,并且它們的范圍都是[0,2π).

    列子:已知橢圓的參數方程為{x=2costy=4sint (t為參數),點M在橢圓上,對應參數t=π3,點O為原點,則直線OM的斜率為3–√。
    分析:這個說法是錯誤的,怎么糾正呢?

    當t=π3時,代入得到x=2cosπ3=1,y=2sinπ3=23–√,故M(1,23–√),
    則kOM=y?0x?0=23–√。

    化為參數方程:
    介紹一個容易記憶的方法:
    類比:cos2θ+sin2θ=1
    當圓為x2+y2=4時,先轉換為(x2)2+(y2)2=1,
    cos2θ+sin2θ=1
    (x2)2+(y2)2=1
    對應上式,得到cosθ=x2,sinθ=y2,
    故圓的參數方程為{x=2cosθy=2sinθ(θ為參數);
    當然,我們還可以這樣交叉對應,
    得到sinθ=x2,cosθ=y2,
    故圓的參數方程還可以為{x=2sinθy=2cosθ(θ為參數);

    【說明】①由此說明,當我們取的參數不一樣時,圓的參數方程是不一樣的,
    即圓的參數方程可能不唯一。兩種參數的含義不一定一樣。
    ②我們約定俗成的取法是第一種。
    ③參數方程的參數有時候有明確的幾何意義,有時候沒有。
    當圓為(x?a)2+(y?b)2=R2時,
    先轉換為(x?aR)2+(y?bR)2=1,
    對應上式,得到cosθ=x?aR,sinθ=y?bR,
    故圓的參數方程為{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ為參數);
    當橢圓為x2a2+y2b2=1時,
    先轉化為(xa)2+(yb)2=1,
    對應上式得到cosθ=xa,sinθ=yb,
    故橢圓的參數方程為{x=acosθy=bsinθ(θ為參數);

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